从零开始学习PYTHON3讲义(七)

条件分支和哥德巴赫猜想

《从零开始PYTHON3》第七讲

人生是由无数个选择组成,每个选择都有不同的限定条件。现在来说人生有点早是吧:)不过事实的确是这样的。

程序也充满着选择,满足不同的条件,则运行不同的运算。这些对不同运算的选择,则被称为分支,或者叫“条件分支”。

在Python中,最简单的条件分支是这个样子(伪代码):

if 条件:
    满足条件时执行的分支
条件不满足时,或者条件满足、执行完分支之后,会继续从这里开始执行

用真实的代码来看个例子:

#当a的值大于3的时候,显示a的值
if a > 3:
    print(a)

以上是if分支最简单的形式,完整的if分支使用伪代码表示是这样:

if 条件一:
    条件一满足时执行
elif 条件二:
    条件二满足(条件一不满足)时执行
elif 条件三:
    条件三满足(条件一、二不满足)时执行
...
else:
    所有分支条件均不满足时执行

在其它的编程语言中,if分支通常最多只处理两种分支条件,更多的分支要使用if语句的嵌套,或者switch等命令。在python中这些不同的处理方式都被合并到了if分支语句。其中主要的体现就是elif子句,elif实际是“else if”的缩写,这非常像if的嵌套使用,但又更简单易用。
if语句完整的语法包含很多个部分,elif只是其中的一个部分,所以叫“子句”。每个elif子句对应一个分支条件和吻合条件后的分支。在一个if分支结构中,elif子句可以有很多个,这样就可以用于对应很多种不同的分支条件。但是最初的if和最后的else只能有一个。

除了伪代码,我们还可以用流程图来描述if语句的执行走向,从而加深印象:

if-flowchart1 相信你已经有了概念了。下面是一个真实代码的例子:

#条件分支示例
#作者:Andrew

#输入
wallet=float(input("请输入钱包里的现金总数:"))

if wallet > 1000.0:
    print("今晚去吃大餐.")
elif wallet > 500.0:
    print("简单吃一顿,然后去迪厅.")
elif wallet > 100.0:
    print("去吃个快餐,然后看场电影.")
else:
    print("回家看看有没有剩饭,然后看电视吧.")

上面程序中,首先请用户输入一个数字,代表钱包中的现金总数,然后使用float函数把输入变换为浮点数。使用float类型是因为,表达的是现金的总数,当然可能包含小数部分。如果不使用float函数,输入的数据默认是字符串类型,这个我们前面已经讲过了。

随后根据现金的数额,显示不同的提示。提示信息仅供娱乐,这里是为了说明if语句的基本使用方式。你主要需要理解的部分就是,这些不同信息,是根据不同的分支条件决定的。

在if语句中,真正控制程序走向的正是程序中所给出的条件,通常以条件表达式的方式存在。表达式的运算结果只有“真”、“假”两种形式。这是逻辑类型,或称bool(布尔)类型,属于数字类型的子类型,我们在第五章中讲过了。
我们当时还讲过,采用bool类型的原因之一是因为现代数学体系上完备的概念和体系。今天我们就在这个基础上再进一步讲述逻辑运算,或称bool(布尔)运算。


逻辑运算(布尔运算)

bool类型只有两个可能值,所以常见的bool运算方式也并不多,最常用的就是下面三种:

  • not 否定操作,比如下面两条语句,从逻辑上是相同的:

    if not 性别=="女":
      
    if 性别=="男":    
    
  • and 逻辑“与”操作:and操作符两边的条件,必须都为真,结果才是“真”,否则结果是“假”,例如:

    if 性别=="男" and 16<年龄<25
    #当性别为男,同时年龄在16到25岁之间(不包含16岁和25岁)时,执行
    
  • or 逻辑“或”操作:or操作符两边的条件,只要有一个是“真”,则结果就是“真”,全部为“假”,结果才是假,例如:

    if 年龄<=16 or 年龄>=25:
        print("条件不符")
    #当年龄小于等于16岁,或者大于等于25岁,则显示“条件不符“
    

条件判断本来挺好用,为什么学这么复杂的布尔运算呢?我们来看一个例子你就会理解了:

假设某个男篮选秀,教练组提出了录取的三个基本条件:

  • 男性
  • 年龄大于16岁,小于25岁
  • 身高超过2.1米

如果只使用逻辑判断,不使用逻辑运算表达式,我们可能得到这样的程序代码(伪代码):

if 性别=="男":
    if 16<年龄<25:   #注意这里使用了连续判断(if语句嵌套)
        if 身高>2.1:
            print("符合条件!")
        else:
            print("不符合条件!")
    else:
        print("不符合条件!")
else:
    print("不符合条件!")

对比如果使用逻辑运算的代码:

if 性别=="男" and 16<年龄<25 and 身高>2.1:
    print("条件符合!")
else:
    print("条件不符合!")

使用逻辑运算的代码干净、清晰,不易出错。不过在初学的时候,你会感觉有点“烧脑” :)


循环中的分支

我们已经基本了解了分支语句的功能,上面举的例子,基本都是通用程序中的分支处理。在常用的循环中,分支的处理又略有不同。

这些不同不是来自于分支语句本身,而往往是分支条件满足之后,所要达到的效果。通常在循环语句块中,我们常用到两种特殊的处理:

  • 中断循环的继续,退出循环,从循环语句块之后的第一条语句继续执行程序的后续部分。这种情况下,使用break语句。
  • 继续循环,但跳过本次循环的后续部分,从循环块开始的部分执行下一次循环。这种情况下,使用continue语句。

      来看一个例子:
    
#循环显示数字1-11,其中数字3、5跳过不显示

i=0
#启动一个无限循环
while True:
    i += 1
    #因题意,跳过数字3、5
    if i == 3 or i == 5:
        continue
    print(i)
    #因题意,超过数字11退出循环
    if i >= 11:
        break

因为我们的好习惯,大多需要解释的内容,都已经在程序的给出注释了。当然仍有几点需要注意:

  • while True:语句,进入循环的条件和继续循环的条件是True,这是一个立即数,也是常数。这使得循环成为一个永远不停止的循环。
  • 当i的值是3或者5的时候,执行continue命令,这将跳过后面的显示i值部分,从循环一开始重新执行。
  • 当i>=11的时候,break语句导致循环终止。
  • 注意i += 1这是我们在前面演示的时候,都放到循环块最后部分的循环条件变量,当然这里i已经不是循环的条件变量了,但仍然对于退出循环起着很关键的作用。

这里放到循环一开始,是为了防止continue语句跳过循环剩余部分的时候,把这一句也跳过去,从而导致i的值不再变化,最终导致循环无法停止的情况。

根据上面这段示例代码,我们出几道思考题作为今天练习的一部分:

  • 如果没有break语句,本程序会出现什么情况?
  • 跟i == 3 or i == 5 对比 (i == 3) or (i == 5) 功能是否一样?哪个更好?
  • 本程序中, i >= 11 和 i == 11功能是否一样? 哪个更好?
  • 本例中,如果使用i==11,跟换用for循环模式,然后使用range(12)含义一样吗?

挑战

今天的挑战内容是编程来证明《哥德巴赫猜想》,这个话题比较大,所以理所当然我们只是来证明简化版的《哥德巴赫猜想》。

哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于 1690 年,1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于 6 的偶数都是两个素数(只能被 1 和它本身整除的数)之和。如 6=3+3,12=5+7 等。
哥德巴赫 1742 年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1 也是质数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于 5 的偶数都可写成两个质数之和。

编写程序,输入任意一个大于5的偶数,证明这个偶数符合哥德巴赫猜想,并显示是哪两个质数。

我们前面就讲过,如果一个问题太复杂,我们难以实现。那就要对问题进行拆分,使得每个小的部分,都能够清晰、容易的完成,最后把所有小程序“组装”在一起。

现在我们就把今天的挑战内容分拆一下,分解成几个容易完成的小问题。

奇数、偶数判断

输入一个整数,判断这个数字是奇数还是偶数?我们直接来用代码讲解:

#输入一个正整数n,判断n是奇数还是偶数

#定义一个的函数,
#输入参数n
#当n为偶数时返回True,否则返回False
def isEven(n):
    return not (n % 2)

#输入
n=int(input("请输入一个正整数:"))
#判断
if isEven(n):
    print(n,"是偶数.")
else:
    print(n,"是奇数.")

我们在程序中定义了一个函数来判断参数是奇数还是偶数。判断的原理,是使用整数运算中的求余数办法,求参数除以2之后,是否有余数。如果有余数,则参数肯定是奇数;如果没有余数,刚好除尽了,则参数当然是偶数。

判断的时候还使用了小技巧,就是not (n % 2)这一句。
有余数的话,整数值表示为非0,当然这里因为求除以2的余数,所以这个值要么是1,要么是0,不可能是其它的值。前面我们已经讲过了,1代表“真”,True。没有余数是0的话,0代表“假”,False。所以这个整数的结果,我们是可以直接当做bool值来使用的。
唯一要处理的,是我们的函数判断如果是偶数才返回True,所以在取余数运算的前面增加了not逻辑运算,也就是取反,来得到我们需要的bool值。也既:参数是偶数,返回真值True。

输入整数之后,使用int()函数把输入的字符串内容转换为整数数字。因为我们定义的函数返回实际是bool值,所以使用if分支来打印判断的结果,而不是显示返回值本身,那样只能显示出来“True”或者“False”。

用户输入是否满足条件?

因为我们的程序对用户的输入值有约束条件,1、偶数,2、大于5,所以我们要对用户输入的数字先进行判断是否条件吻合,如果不符合约束条件,要请用户重新输入。我们以前提过,为了简化问题,在我们涉及的编程概念中,暂不考虑用户输入根本不是数字这种错误。

#接受一个大于5的偶数输入
#不符合条件则循环重新输入

#判断是否为偶数
def isEven(n):
    return not (n % 2)
#判断输入数字是否符合条件
def isValid(n):
    if n <= 5 or not isEven(n):
        return False
    return True
#循环输入,直到得到吻合条件的输入
def inputNumber():
    while True:
        n=int(input("请输入一个大于5的偶数:"))
        if isValid(n):
            break
        else:
            print("输入不符合条件,请重新输入!")
    return n

#调用输入函数
print("输入为:",inputNumber())

程序上来先是上一节定义的isEven函数,用来判断输入是否为偶数。

接着是新定义的函数isValid(n),用来判断参数是否大于5,并且是偶数。判断的方法使用or逻辑运算,用以在一个if分支判断中,同时判断两个约束条件。
逻辑运算中的or跟后面的not有点容易混淆。区分的方法也很容易,not运算符是单操作数的,只对其后面的表达式有效,or则是对两边的两个操作数有效。所以or后面一定要有一个操作数,这里显然只能是not的结果。而not操作符必须有其后面的唯一操作数。说了这么多,都是为了解释给“阅读”程序的人,所以其实编写程序的时候,写成:if (n<=5) or (not isEven(n)):这样更清楚,你说对吗?

再下面的inputNumber()函数,重点是使用了while循环,并且用True作while的条件,形成一个永远的循环。在循环中,只要用户输入的数字不符合规定条件,就让用户重新输入。只有当用户输入了满足条件的数字的时候,才会退出循环,并由函数返回值返回用户符合条件的输入。

质数的判断

质数是数学上的定义,指的是只能被1和它本身整除的数字。因为要求整除,所以这个数字本身首先要是整数。

判断质数很适合使用循环,假设我们需要对数字n判断是否为质数。循环从2开始,一直循环到这个n-1。用n除以这个循环变量后,如果没有余数,表示整除了。那当然这个数字就不是质数。如果所有的循环结束,也没有整除的现象,这个数字就是质数。来看程序代码:

#接受一个正整数输入,判断该数字是否为质数

def isPrime(n):
    #从2开始循环到n-1
    for i in range(2,n):
        #如果有可以被整除的(无余数),
        #则数字不是质数
        if (n % i == 0):
            return False
    return True

#输入
n=int(input("请输入一个正整数:"))
#判断是否为质数并显示
if isPrime(n):
    print(n,"是质数")
else:
    print(n,"不是质数")

好了,至此我们所有用到的小功能都已经实现了,后续需要把所有代码拼装到一起,成为一个完整的程序。拼装工作我们当做今天的练习请你自己完成,一定要完成之后再看答案。

拼装提示:在刚才的几个小程序中,因为每个小程序都是一个完整的程序,都有输入、显示等功能,核心的功能当然已经完成了函数化。所以拼装重要的工作是拼装这些函数。主要的程序流程,则需要根据前面《哥德巴赫猜想》的题面来自己编写。这个主流程的大致工作应当是:

  • 输入数字,判断数字是否合规,否则重新输入
  • 假设输入的数字是n,我们用i变量循环从3到n-1
  • 如果存在i和n-i两个数字都是质数的情况,则猜想成立
  • 猜想成立把i和n-i都显示出来就好了

我相信你一定能完成的,加油吧。


练习时间

  1. 循环中的分支一节中的思考题。

  2. 循环显示数字1-11,其中数字3、5跳过不显示,要求使用for循环实现。(我们前面已经有了while循环的例子,可以参考完成)

  3. 完成上一节中的《哥德巴赫猜想》完整程序。这里有一个提示,在调试程序的时候,不要输入太大的数字,否则计算机可能需要运行上几天甚至更多,这让你完全无法验证程序和找出程序中的问题。


本讲小结

  • 本讲重点讲述了条件分支,但实际上逻辑运算及其各种应用是重点。因为分支的条件,是使用逻辑运算表达的。
  • 有逻辑处理能力是计算机区别于其它计算设备(比如传统计算器)的重要特征。
  • 多项条件通过逻辑运算组合在一起,可以让代码更简洁。并且能完成很多复杂的工作。这个工作的难度,在于你如果想让计算机执行的正确,你自己必须使用自己的大脑完全的模拟正确。

练习参考答案

  • 程序请参考源码:code2a.py 及 goldbach.py。

  • 如果没有break语句,本程序会出现什么情况?

    没有break语句,本程序会陷入死循环,无法停止。

  • i == 3 or i == 5 对比(i == 3) or (i == 5) 功能是否一样?哪个更好?

    功能都一样,但后者更好,因为更直观更容易理解。 延伸一个解释。加上小括号之后,比不加,代码速度回略微受一点影响。但这个影响非常小,可以忽略不计,所以看上去更清晰就成了优选。

  • 本程序中, i >= 11 和i == 11功能是否一样?哪个更好?

    功能是一样的,但i>=11容错性更好。

  • 本例中,如果换用i==11,跟for循环中使用range(12)含义一样吗?

    功能可能一样,但含义完全不一样。i==11是本例中的结束条件,是相等的判断。而range(12)表示生成的列表<12,使用了小于判断。