梯度下降法公式推导过程

再次补充:导数部分化简


前面一篇就是基础性的推导过程。从反馈的情况看,总体还是讲明白了。但是在导数的部分,仍有不少的存疑。
其实在数学方面,我也是学渣。所以尽我所能,希望再次的补充能讲的明白。若有谬误,期盼指正。

基础公式

所需基础公式抄录于下,不明白的请至上篇查看详解。

假设函数

$$ y' = h_θ(x) = \sum_{i=0}^nθ_ix_i $$

均方差损失函数

$$ J(θ) = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$

梯度下降求解θ

$$ θ_j := θ_j - α\frac∂{∂θ_j}J(θ) $$ 摘出来上面公式步长α之后的部分: $$ \begin{align} \frac∂{∂θ_j}J(θ) & = \frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \\ & = \frac1m\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^i \end{align} $$

嗯,问题一般就是出在这里了,很多人尝试了化简,得不到上面的化简结果。

导数公式

化简上面的式子,需要微积分导数的一些知识,我抄录用到的部分于此,以方便对照查看:

导数

导数的目的是求得在给定点的切线方向,以保证梯度下降的下一步会向收敛方向(也即上面的损失函数最小化方向)迭代一个步长α。这个很多教程都讲过了,这里不再废话。

(偷懒从网上搜了张图,侵删。图中的W实际是我们公式中的θ,J(W)就是我们讲的J(θ))

首先公式\(\frac∂{∂θ_j}\)就是求导数的意思,别当做普通的分式,直接分子、分母把∂化简掉成为\(\frac1{θ_j}\)。当然大多数人不会这样做了,我只是见过这样的情况,说出来以防万一。

事实上,你把\(\frac∂{∂θ_j}\)换成常用的函数描述\(f(θ_j)\)可能更贴切。

对函数的和求导法则

为了描述起来方便,我们下面使用’符号来代表求导:

$$ (u + v)' = u' + v' $$ 在上面的公式中推广一下,Sigma求和不影响求导的传导,直接把Sigma符号提到前面就好: $$ (\sum_{i=1}^mu^{(i)})' = \sum_{i=1}^m(u^{(i)})' $$

对函数的积求导法则

$$ (uv)' = u'v+uv' $$

幂函数求导法则

$$ (x^u)' = ux^{(u-1)} $$

对常数求导

这是我最爱的部分:

$$ (C)' = 0 $$

链式法则

这是我最不喜欢的部分:
假设我们希望对变量z求导,而变量z依赖变量y,变量y又依赖变量x。例如:

$$ z = f(y) \\ y = g(x) $$ 也即: $$ z = f(g(x)) $$ 那么对z求导就构成了链式法则: $$ (z)' = (f(g(x)))'·(g(x))' $$ 注意最后面乘上内部依赖函数求导的过程,简直是反人类的天外来客,经常会忘。但我等遵循自然界规则的凡人又能如何,死记而已。

推导

基本公式列完,开始推导过程:

$$ \frac∂{∂θ_j}J(θ) = \frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$ 根据上面说的求和函数求导法则: $$ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2) $$ 别急着对幂求导,考虑对中间的损失函数的依赖,实际要先处理链式法则: $$ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2)·(\frac∂{∂θ_j}(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}) $$ 现在方程式前面的部分可以幂求导了,后面的部分把假设函数先展开: $$ = \frac1{2m}\sum_{i=1}^m2·(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}))·(\frac∂{∂θ_i}(\sum_{i=0}^nθ_ix_i - y^{(i)})) $$ 因为展开的假设函数中使用i代表第i个权重,所以前面的求导也换成了\(θ_i\),不是指第i个批次的样本数据。这里原来没有打算展开讲,所以使用的符号名称有点容易混,但概念清楚的话不应当闹误会。

继续,式子前半部分的2跟1/2会抵消掉,这是前篇做均方差时候乘1/2的目的;后面的Sigma求导继续使用求和函数求导法则展开:

$$ = \frac1{m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)}))·(\sum_{i=0}^n\frac∂{∂θ_i}θ_ix_i - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)}) $$ 前半部分的化简已经完成,简单起见,我们只把后面部分摘出来: $$ \sum_{i=0}^n\frac∂{∂θ_i}θ_ix_i - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)}\\ = \frac∂{∂θ_i}(θ_0x_0+θ_1x_1+...+θ_ix_i+...+θ_nx_n) - \frac∂{∂θ_i}y^{(i)} $$ 根据求和函数求导法则展开,等于对其中每一项求导。而我们在对\(θ_i\)进行求导的时候,其余各项对我们来说,实际上就是一个常数,它们在求导这一刻是固定不能变的。嗯嗯,记得上一篇最后的提醒吗?θ在每个循环内固定不变,在计算完所有的θ之后,才一次代入,并在下个循环内保持不变。

而对常数求导,刚才说过了,那是我的最爱,因为结果是0。还有我们抄了好几行的\(y^{(i)}\)求导,我忍得好辛苦,因为那也是样本集给出的常数,所以结果也是0: $$ = 0 + 0 + ... + \frac∂{∂θ_i}θ_ix_i + ... + 0 - 0 $$ 现在需要对乘积函数求导展开了: $$ = \frac∂{∂θ_i}θ_i·x_i + θ_i·\frac∂{∂θ_i}x_i $$ 你看,这世界不总是那么残酷的,后面的\(x_i\)又双叒叕是一个常量,所以求导之后乘上\(θ_i\)仍然是0。 前面对\(θ_i\)的求导结果是1,原因很简单,你可以把\(θ_i\)看做1次幂。 $$ \begin{align} & = \frac∂{∂θ_i}(θ_i)^1·x_i + 0 \\ & = 1·θ_i^{(1-1)}·x_i \\ & = 1·1·x_i \\ & = x_i \\ \end{align} $$ 只是瞬间,这个世界就清净了。原来对假设函数求导的最终结果,不过是\(θ_i\)的系数\(x_i\)。

前面我们两次把等式的局部摘出来化简,现在是把它们组合回去的时候了:

$$ \begin{align} θ_j & = θ_j - α\frac∂{∂θ_j}J(θ) \\ & = α\frac∂{∂θ_j}\frac1{2m}\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \\ & = α\frac1m\sum_{i=1}^m(h_θ(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^i \end{align} $$

希望不用再写补充的补充的补充了吧。